63.47 Kb.Название Дата10.03.2012Размер63.47 Kb.Тип Содержание Смотрите также: Системы линейных уравнений. Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например: P Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений. Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет. При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая: система не имеет решений; система имеет ровно одно решение; система имеет бесконечно много решений.I^ . Решение системы линейных уравнений методом подстановки. Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных. Пример 1 Решить систему линейных уравнений:Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде. Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак. Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных. Решаем. Из первого уравнения системы выражаем: . Это и есть подстановка. Полученное выражение PPподставляем во второе уравнение системы вместо переменной Решим данное уравнение относительно одной переменной.Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение : 4) Далее возвращаемся к подстановки P, чтобы вычислить значение .Значение Pнам уже известно, осталось найти: 5) Пара единственное решение заданной системы. Ответ: (2,4; 2,2). После того, как решена любая система уравнений любым способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.1) Подставляем найденный ответ первое уравнение : P получено верное равенство. 2) Подставляем найденный ответPPво второе уравнение: P получено верное равенство. Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно былоP выразить , а не .Можно наоборот что-нибудь выразить из второго уравненияPи подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов выразить Pиз второго или из первого уравнения: или Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.Пример 2 Решить систему линейных уравнений ^ Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы В ходе решения систем линейных уравнений можно использовать не метод подстановки, , а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы. Этот метод экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее. Пример 3 Решить систему линейных уравнений: Возьмём ту же систему, что и первом примере.1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной уPодинаковы по модулю и противоположны по знаку ( 1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно: 2) Решим данное уравнение относительно одной переменной. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода избавиться от одной из переменных. 3) Теперь всё просто: подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе): В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так: Ответ: (2,4; 2,2).Пример 4 Решить систему линейных уравнений: В данном примере можно использовать метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени , и велика вероятность допустить ошибку. Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных: Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и 2) разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и 18. Будем рассматривать коэффициенты при переменной . 14х 9у = 24; 7х 2у = 17.Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты. Далее:
Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Комментариев нет:
Отправить комментарий